Контакты

Воронеж
ул. Островского, 93А

 

тел/факс: +7(473) 260-52-06
тел/моб.: +7-910-240-25-25
+7-919-240-00-00
e-mail: nta@newtechagro.ru
newtechagro@mail.ru
Отдел запчастей: +7-915-541-56-16
e-mail: parts@newtechagro.ru
Agrodealer
Agrointernet
Agrokredit
 



Доставка сельхозтехники и запасных частей, оросительных систем, насосов во все города России (быстрой почтой и транспортными компаниями), так же через дилерскую сеть: Москва, Владимир, Санкт-Петербург, Саранск, Калуга, Белгород, Брянск, Орел, Курск, Тамбов, Новосибирск, Челябинск, Томск, Омск, Екатеринбург, Ростов-на-Дону, Нижний Новгород, Уфа, Казань, Самара, Пермь, Хабаровск, Волгоград, Иркутск, Красноярск, Новокузнецк, Липецк, Башкирия, Ставрополь, Воронеж, Тюмень, Саратов, Уфа, Татарстан, Оренбург, Краснодар, Кемерово, Тольятти, Рязань, Ижевск, Пенза, Ульяновск, Набережные Челны, Ярославль, Астрахань, Барнаул, Владивосток, Грозный (Чечня), Тула, Крым, Севастополь, Симферополь, в страны СНГ:Киргизия, Казахстан, Узбекистан, Киргизстан, Туркменистан, Ташкент, Азербайджан, Таджикистан.
Наша кнопка:

как установить?

Наш сайт не является публичной офертой, определяемой положениями Статьи 437 (2) ГК РФ., а носит исключительно информационный характер. Для получения точной информации о наличии и стоимости товара, пожалуйста, обращайтесь по нашим телефонам. В случае копирования, использования любого материала находящегося на сайте www.newtechagro.ru, активная ссылка обязательна, в случае печати – печатная ссылка. Копирование структуры сайта, идей или элементов дизайна сайта строго запрещено.

Права на все торговые марки, изображения и материалы, представленные на сайте, принадлежат их владельцам.

 

Теоретическое определение частоты собственных колебаний плодового дерева

Теоретическое определение частоты собственных колебаний плодового дерева

Определение оптимальных режимов работы вибратора для обеспечения необходимой полноты съема плодов связано с установлением частот и форм собственных колебаний плодового дерева, которые являются главными характеристиками его как механической колебательной системы.

Определение частот собственных колебаний плодового дерева точными теоретическими методами задача сложная, поэтому для проведения расчета приходится делать некоторые допущения, ошибка от которых не превышает требований, выдвигаемых при практической оценке частот собственных колебаний плодовых деревьев самой разнообразной формы.

Для определения частот собственных колебаний плодового дерева X. А. Хачатрян  использовал формулу Рэлея. Этот метод позволяет сравнительно легко определить низшую собственную частоту колеблющейся системы. Однако, как указывает сам автор, удовлетворительные результаты можно получить лишь в том случае, когда рассматриваемая модель близка к действительной колеблющейся системе. При расчетах X. А. Хачатрян сосредоточивал массу дерева в пяти точках по всему объему кроны.

Е. М. Андреева и М. X. Вексельная предлагают определять частоту и форму собственных колебаний плодового дерева на основе метода начальных параметров. Ствол плодового дерева с четко выраженным центральным проводником как механическая колебательная система моделировался авторами в виде прямого цилиндрического стержня с расположенными на его оси сосредоточенными массами. При этом диаметр поперечного сечения в пределах каждого участка авторы считали постоянным; при переходе через сечение, содержащее сосредоточенную массу, диаметр менялся скачкообразно.

Специалисты научно-исследовательского и проектного института экономики, организации управления производством и информации по лесной, целлюлозно-бумажной и деревообрабатывающей промышленности (ВНИПИЭИЛеспрома) П. Д. Безносенко и другие предложили определять собственные колебания дерева методом последовательных приближений. Работа проведена для расчета динамических нагрузок на рабочее оборудование валочно-пакетирующей машины. Дерево было заменено одномассовой динамически эквивалентной системой. Основную частоту колебаний дерева с заданной точностью определяли на ЭВМ «Минск-22».

Применять два последних метода определения собственной частоты можно только для деревьев с ярко выраженным проводником (стволом).

Автором данной книги предложено определять частоту собственных колебаний с помощью энергетических методов и использовать для подсчета числовых значений метод Рэлея — Ритца и модифицированный метод Рэлея — Ритца.

Известно, что плодовое дерево представляет собой некоторую непрерывную систему с бесконечным числом степеней свободы. Следовательно, имеется бесконечное число нормальных функций и частот собственных колебаний.

В первом приближении всю массу дерева с плодами можно привести к стволу в виде нескольких сосредоточенных масс. Предполагаем, что ветвь однородна, одного сечения, материал ветви подчиняется закону Гука и на ветви равномерно по всей длине распределены плоды, хотя фактически ветви имеют переменные упругие и инерционные свойства с неравномерным распределением плодов по длине ветви.

Деформация некоторой непрерывной системы под действием динамических нагрузок может быть выражена через нормальные функции и частоты собственных колебаний. За исключением некоторых очень частных случаев эти частоты не могут быть определены точно, поэтому для их определения применяют ряд приближенных методов, например энергетические методы.

Энергетические методы вычисления нормальных функций и частот собственных колебаний основываются на принципе виртуальной работы или на более частной форме этого принципа, известной под названием уравнений Лагранжа.

Уравнения Лагранжа можно применить для решения рассматриваемых задач, если приближенно представить деформацию системы таким образом, чтобы она могла быть описана при помощи конечного числа обобщенных координат q1, q2, ... qn.

Рассмотрение системы с n степенями свободы затруднительно, поэтому обычно стремятся уменьшить число степеней свободы путем наложения соответствующих ограничений. Чем больше ограничений накладывается на систему, тем получается менее точный конечный результат.

Так как здесь рассматриваем собственные колебания и малые перемещения системы, то уравнения Лагранжа можно записать, полагая dT/dqi = Qi = 0:

 

Частоты собственных колебаний плодового дерева рассчитываем методом Рэлея — Ритца и модифицированным методом Рэлея — Ритца, а для поверочных расчетов используем метод матричной итерации. Целью этого анализа является составление практических рекомендаций по количеству и способу приведения сосредоточенных масс при определении частот собственных колебаний плодового дерева.

Представим дерево в виде консольной балки переменного сечения и представим кривую прогибов нейтральной оси следующим выражением:

 

где ϒi(y) — некоторые заданные функции прогиба, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям Yi(0) =Yi'(0) = 0; qi(t) — обобщенные координаты, определяющие вклад каждой функции прогиба в выражении суммарного прогиба.

Функции ϒi(y) выбирают таким образом, чтобы можно было получить хорошее приближенное представление для колебаний каждого из нужных тонов посредством наложения.

Пренебрегая инерцией вращения, получим выражение для кинетической энергии балки в следующем виде:

 

Пренебрегая деформацией сдвига, выразим энергию деформации балки через жесткость ее на изгиб следующим образом:

 

где штрихи обозначают дифференцирование по у. Подставляя выражение (17) в равенства (18) и (19), после упрощения получаем

 

где mij — константы, определяющие инерционное взаимодействие между обобщенными координатами mij = mji; kij — коэффициенты влияния жесткости, определяющие упругое взаимодействие между обобщенными координатами kij = kji.

 

Подставляя соотношения (20) и (21) в уравнения Лагранжа, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения собственных колебаний

 

Выбирая решение в виде

 

где  — амплитуда прогиба; ω — частота; ψ — угол сдвига фазы, имеем

 

Эта система характеристических уравнений может быть, разрешена относительно n дискретных приближенных значений ω2.

С каждым собственным значением ω связана некоторая система величин . Величины  могут быть найдены с точностью до постоянного множителя, так как система уравнений определяет только отношения этих величин (отношения амплитуд).

Нормальные функции собственных колебаний определяются выражениями

 

Эти выражения дают лишь приближенное представление об истинных нормальных функциях, поскольку точность приближения ограничена числом и строением выбранных функций прогиба. Приближение является наилучшим для низших форм колебаний и становится все более грубым с возрастанием номера формы колебаний. Нельзя ожидать, что все полученные таким образом решения будут давать хорошее приближение к истинным нормальным функциям; обычно необходимо отбросить несколько форм наиболее высокой частоты.

Если использовать матричные обозначения, то характеристические уравнения (26) легко могут быть записаны в виде, удобном для численных расчетов.

Разделим балку по длине на n отрезков и равенства (22) и (23) для масс и жесткостей выразим в следующей матричной форме:

где [у] — матрица формы колебаний; — матрица масс, определяющая массы, приходящиеся на единицу длины в каждом сечении;  — матрица весовых чисел, соответствующих n сечениям, расположенным по длине балки и связанных численным интегрированием;  — матрица жесткости; [у]' — матрица, транспонированная по отношению к матрице [у].

Уравнение (26) в матричной форме имеет вид

 

Применив уравнения (28) и (29), получим

 

Уравнение (31) является особенно удобным для вычислений.

Если при использовании метода Рэлея — Ритца задаваться одной формой колебаний, то метод сведется к известному методу Рэлея.

При энергетических методах расчета прогибы системы выражаются в виде некоторого наложения колебаний задаваемых форм. От выбора функций, представляющих задаваемые формы колебаний, зависит успех применения приближенных методов.

Для получения хороших результатов выбираемые функции должны удовлетворять граничным условиям и быть линейно независимыми друг от друга. Удовлетворение всех граничных условий на свободных границах не является строго обязательным, так как в конечном результате, стремятся удовлетворить этим условиям. Линейная независимость предполагает невозможность выражения какой-либо одной из задаваемых функций в виде наложения нескольких или всех остальных функций. Чем дальше задаваемые функции от линейных, тем более подходящими являются они для приближенного решения. Примерами линейно независимых функций могут служить члены степенного ряда или члены ряда Фурье.

Наиболее простой функциональной формой является полиномиальное выражение. Можно получить некоторые стандартные формы, удовлетворяющие граничным условиям отдельных частных задач. Например, для случая консольной балки В. Дунканом предложено следующее полиномиальное выражение

 

где j =1, 2, .... n.

Простой подстановкой легко доказать, что это выражение удовлетворяет граничным условиям, налагаемым на консольную балку.

Для определения частот колебаний конкретного плодового дерева необходимо найти все матрицы уравнения (31).

В качестве примера рассчитаем 1три собственные частоты типичного плодового дерева восьмилетней сливы со следующими размерами: высота ствола 450 см, диаметр основания 10 см, диаметр вершины 4 см, длина скелетной ветви первого порядка 250 см при среднем диаметре 5 см, второго порядка 200 см при среднем диаметре 4 см, третьего порядка 140 см при среднем диаметре 2,5 см. Количество ветвей каждого порядка равно четырем. Место прикрепления к стволу одной пары скелетных ветвей первого порядка находится на высоте 90 см от земли, второй пары — на высоте 180 см от земли. Общий урожай на дереве принят 50 кг, из Них на каждой скелетной ветви первого порядка с ветвями других порядков по 10 кг и на стволе 10 кг.

Ствол дерева делим на шесть сечений и считаем, что в последних трех сечениях равномерно распределено 10 кг плодов (по 3,333 кг в каждом сечении). При общей длине ствола 450 см длина каждого сечения будет равна 75 см.

Массу ствола между сечениями определяем через объем усеченных конусов. При этом плотность древесины принимаем ρ = 0,001 кг/см3. В результате подсчетов получаем массу ствола между корневым и первым сечением M1 = 5,32 кг, между первым и вторым сечением M2 = 4,25 кг и далее соответственно M3 = 3,25 кг, М4 = 2,45 кг, М5 = 1,78 кг, М6 = 1,25 кг.

При установлении расчетной схемы ствола с сосредоточенными массами необходимо помнить, что сосредоточенная масса должна находиться в центре тяжести сечения.

Координаты центра трапеции (сечения) без сосредоточенного груза и при его наличии определяют по следующим формулам (рис. 54):

 

где уц.т — координата центра тяжести трапеции без сосредоточенного груза; а, b — верхнее и нижнее основания трапеции; уц.т* — координата центра тяжести трапеции при наличии сосредоточенного груза; yгр — расстояние сосредоточенного груза до ближайшего сечения; Мгр — масса сосредоточенного груза; Мтр — масса сечения ствола.

Далее определяем массы ствола между сечениями для трех вариантов: для одного ствола, для ствола с ветвями, для ствола с ветвями и плодами.

 

Рис. 54. Схема для определения центра тяжести равнобочной трапеции при наличии сосредоточенного груза и без него

По результатам расчетов координат центров тяжестей сечений и масс на рис. 55 представлена схема ствола с шестью сосредоточенными массами.

Нормальными функциями задаемся по уравнению (32). Будем, например, вычислять три тона колебаний. Тогда, принимая j = 1, 2, 3 и подставляя их в уравнение (32), находим у1, у2 и у3. По первым двум значениям у1 и у2 построены полиномиальные функции (рис. 56), применяемые при исследовании консольных балок.

Затем приступаем к определению отдельных компонентов, уравнения (31). Матрица масс, приходящихся на единицу длины, определяется путем деления соответствующей массы на длину сечения.

 Рис. 55. Расчетная схема ствола с сосредоточенными массами

Выбор матрицы весовых чисел зависит от применяемого метода численного интегрирования. Если консольная балка разделена на n равных интервалов % и если кривая между соседними ординатами приближается к параболе, то площадь между этими ординатами вычисляют с использованием правила Симпсона: 

 

Правило Симпсона позволяет получить точный результат, если функция, подлежащая аппроксимации, является полиномом третьей или меньшей степени.

 Рис. 56. Полиномиальные функции, применяемые при исследовании консольных балок

Матрица жесткости — это диагональная матрица, представляющая произведение модуля упругости на момент инерции площади ствола в семи сечениях (с учетом корневого сечения).

Принимая радиусы сечений с рис. 55 и учитывая, что средний модуль упругости древесины слив Е = 45000 кгс/см2, записываем матрицу жесткости.

Полученные матрицы подставляем в уравнение (31). Расчет проводим для ствола с ветвями и плодами. В результате последовательного следовании консольных балок умножения матриц   получаем матричное уравнение, транспозиция которого приводит уравнение к определителю. После раскрытия определителя   и соответствующих преобразований имеем кубическое уравнение относительно ω2. Решение этого уравнения дает три действительные собственные частоты: ω1 = 0,72; ω2 = 3,12; ω3 = 5,27 Гц.

Подставляя значения величин ω1, ω2 и ω3 в матричные уравнения и решая эти уравнения относительно  можно получить формы колебаний для различных тонов.

По аналогии с изложенным можно рассчитать собственные частоты для ствола без плодов и для ствола с ветвями без плодов.

Пользуясь приведенной методикой, были рассчитаны три собственные частоты колебаний для взятого плодового дерева, но для трех сосредоточенных масс. В результате расчетов собственные частоты оказались; ω1 = 0,86; ω2 = 3,73; ω3 = 6,04 Гц.

С целью получения сравнительных данных были рассчитаны частоты собственных колебаний этого же плодового дерева с использованием модифицированного метода Рэлея — Ритца.

В этом случае энергию деформации балки выражаем через инерционные нагрузки (через изгибающий момент)

 

где Миз — изгибающий момент в сечении балки.

Изгибающий момент от инерционных нагрузок, обусловленных собственными колебаниями

Представляя кривую прогибов балки выражением (17) и используя равенства (35) и (36), получаем выражение энергии деформации через инерционные нагрузки, определяемые собственными колебаниями:

 

Учитывая, что величины qi изменяются по простому гармоническому закону, можно принять qi•• = —ω2qi, тогда

 

Принимая для определения кинетической энергии по-прежнему уравнение (18), подставим выражения (39) и (18) в уравнения Лагранжа и, используя равенство (26), получим

 

Полученная система аналогична системе (26), за исключением того, что в данной системе множитель ω2 стоит при коэффициенте Lij, а не при коэффициенте mij.

Коэффициент Lij через функцию влияния, а не через жесткость балки на изгиб определяют по формуле

 

где С — коэффициент влияния, определяющий взаимодействие различных координат при выражении энергии деформации балки через инерционные нагрузки.

Решив интегралы для mij и Lij, можно записать характеристические уравнения (40) модифицированного метода Рэлея — Ритца в матричной форме

 

Разница между классическим и модифицированным методом Рэлея – Ритца заключается в способе выражения энергии деформации. Для точного решения, охватывающего бесконечное число форм колебаний, оба метода эквивалентны. При приближенном решении, когда берется конечное число форм колебаний, напряженное и деформированное состояния не могут одновременно соответствовать заданной деформации и инерционной нагрузке. Преимуществом модифицированного метода Рэлея – Ритца перед классическим является способ выражения упругих свойств дерева, что придает ему дополнительную общность и гибкость.

Расчеты собственных частот плодового дерева с указанными выше параметрами позволили получить три собственные частоты для шестимассового (ω1 = 0,79, ω2 = 3,43 и ω3 = 5,9 Гц) и трехмассового (ω1 = 0,92, ω2 = 4,12 и ω3 = 6,32 Гц) сосредоточения.

Из результатов расчетов видно, что собственные частоты одного и того же дерева при сосредоточении массы в шести и в трех точках различаются в пределах каждого тона незначительно.

Как показала экспериментальная проверка, первая собственная частота примерно таких же сливовых деревьев, определенная с помощью электротензометрирования, оказалась равной 0,6 – 0,95 Гц.

Сопоставление полученных результатов позволяет считать, что частоты, вычисленные теоретическим путем и полученные экспериментально, весьма близки. Это дает основание широко использовать теоретические методы для определения требуемого соотношения собственных и вынужденных частот и, следовательно, определять режимы работы вибратора для высокой полноты съема плодов.



АгроПоиск - аграрная поисковая система Бесплатный анализ сайта Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика
Все права защищены
OOO «НТА» 2005 - 2017
Политика конфиденциальности

Тип машины *
Пожалуйста, заполните обязательные поля.

Производитель *
Пожалуйста, заполните обязательные поля.

Год выпуска *
Пожалуйста, заполните обязательные поля.

Наработка

Ваше имя *
Пожалуйста, заполните обязательные поля.

Ваш телефон *
Пожалуйста, заполните обязательные поля.

Ваша электронная почта

Нажимая на кнопку «Отправить», Вы даете согласие на обработку своих персональных данных.

Во исполнение требований Федерального закона «О персональных данных» № 152-ФЗ от 27.07.2006 г. Все персональные данные, полученные на этом сайте, не хранятся, не передаются третьим лицам, и используются только для отправки товара и исполнения заявки, полученной от покупателя. Все, лица, заполнившие форму заявки, подтверждают свое согласие на использование таких персональных данных, как имя, и телефон, указанные ими в форме заявки, для обработки и отправки заказа.
Хранение персональных данных не производится.